En dénombrant les façons d'aligner \(n\) boules blanches et \(n\) boules noires, montrer que $$C_{2n}^n=\sum^n_{k=0}(C^k_n)^2$$

Il y a \(\binom{2n}n\) façons de choisir les places des \(n\) boules blanches parmi les \(2n\) places disponibles

Si on décide de mettre \(k\) boules noires dans la moitié gauche des \(2n\) places, il y a \(n-k\) noires dans la moitié droite
Il y a donc \(\binom nk\) façons de remplir la moitié gauche et \(\binom n{n-k}\) façons de remplir la moitié droite
Au total, si on considère tous les cas possibles, il y en a donc $$\sum^n_{k=0}\binom nk^2$$ l'égalité est donc démontrée

Deux personnes lancent chacune \(n\) fois une pièce de monnaie
Quelle est la probabilité \(p_n\) qu'elles obtiennent le même nombre de piles ?

Initialisation
On a \(\Omega=\{p,f\}^{2n}\) et on a équiprobabilité, donc : $$P(A)=\frac{\operatorname{Card} A}{\operatorname{Card}\Omega}=\frac{\operatorname{Card} A}{2^{2n}}$$

Cardinal d'un événement intermédiaire
\(p_n=P(\underbrace{\text{les 2 joueurs obtiennent autant de piles l}^\prime\text{un que l}^\prime\text{autre}}_{E})\)
Cherchons le cardinal de \(E_k=\{\text{ils ont tous les deux fait exactement }k\text{ piles}\}\) :
Il y a \(\binom nk\) façons de placer les \(k\) piles du premier joueur et \(\binom nk\) façons de placer les \(k\) piles du deuxième
On a donc \(\operatorname{Card} E_k=\binom nk^2\)

En reformulant, on a : \(E=\{\text{il existe un }k\text{ tel que les deux joueurs ont fait tous les deux }k\text{ piles}\}\)
Et donc, comme les \(E_k\) sont disjoints, on a : $$E=\bigcup^{n}_{k=0}E_k\implies \operatorname{Card} E=\sum^n_{k=0}\operatorname{Card} E_k=\sum^n_{k=0}\binom nk^2$$
Au final, $$P(E)=\frac{\binom{2n}n}{2^{2n}}$$